余弦定理—新课程培训SX0746022
湖南永州市第四中学 杜艳秋
一、教学内容分析
“余弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教A版）第一章第一节第二课时的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
本节课在学习知识的同时，还要运用类比、化归、分类讨论的数学思想与方法，这些思想方法都是数学素养的一部分，有利于提高学生的思维能力，提升
学生的数学思想和培养学生的数学素质。
二、教学目标
通过对余弦定理边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理；继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会余弦定理的推导过程所蕴涵的数学思想与方法；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质；了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的问题的几种情形及其基本解法；通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
三、学生学习情况分析
学生已有的认知基础：1、在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架；2、本课之前学生已经学习了正弦定理有关内容，对正弦定理的探究过程有了一定的了解，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
学生可能遇到的困难：由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，即如何想到用向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理有困难，即将求边的问题转化为求向量的模、两点间的距离的问题有困难。
四、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
五、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是推导余弦定理的思路方法及在解三角形时两个定理的选择。
六、教学过程设计：
教学环节 | 教学程序（师生双向活动） | 设计意图 |
提 出 问 题 创 设 情 境 |
复习提问：（多媒体演示） 1、正弦定理的内容是什么？用正弦定理可解决哪几类三角形？ 2、判定三角形全等的方法有哪四种？ 3、如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，那么已知三角形的两边及其夹角的条件如何解三角形呢？（板书课题） |
把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点 |
教学环节 | 教学程序（师生双向活动） | 设计意图 |
探 究 新 知 | 1、师生活动：用数学符号来表达上述数学问题：如果已知三角形两边BC=a，AC=b和角C，如何解出c？ 类比回顾：正弦定理的推导方法有哪些？ | 期望能引导学生从各个不同的方面（如从坐标法或向量法，或三角方法）去研究，探索得到余弦定理。 |
推导方法1：三角方法（学生探索，多媒体演示） （1）当△ABC为直角三角形，且C=900时，易知c2=a2+b2
（2）当△ABC为锐角三角形时，如图（2）c2=AD2+BD2
∵AD= BD=a-b ∴c2=（b c）2+（a-b C）2 ∴c2=a2+b2-2abcosc
| 让学生体会类比思想，化归思想由特殊到一般的数学思想方法 |
教学环节 | 教学程序（师生双向活动） | 设计意图 |
探 究 新 知 | （3）当△ABC为钝角三角形时，同（2）可得c2=a2+b2-2abcosC | 进一步巩固向量数量积公式，体会向量的工具作用 |
推导方法2：向量法设 则
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推导方法3：坐标法 （1）由学生建立直角标系；（2）由学生求出A、B两点坐标及 。问若已知a、c及角B求b，又怎样建系？
| 让学生进一步体会坐标法解题关键及步骤，体会数形结合思想。 |
教学环节 | 教学程序（师生双向活动） | 设计意图 |
| 教师板书余弦定理内容。并提出问题： 1、余弦定理与勾股定理有何联系？ 2、已知a、b、c三边，如何解三角形？教师板书余弦定理的推论。 3、利用余弦定理可解决哪几类三角形 | 让学生认识勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 让学生自己推出余弦定理推论，并总结余弦定理引可解两类三角形 |
应 用 举 例 巩 固 新 知 识 |
例1（见教材P7例3） 教师点评： （1）余弦定理求a （2）正弦定理求角C （3）内角和定理求角B 提出问题：例1求出a后，教材是借助正弦定理求角C，再求角B，若用正弦定理求角B，再求角C，又如何？（学生讨论） 2、求出a后改用余弦定理求角C（学生自己做）。 3、在解三角形的过程中，求某一个角，有时既可以用正弦定理，也可以用余弦定理，这两种方法有什么利弊呢？ 例2（见教材P7例4），学生做，教师点评
| 在求解类似问题时，会灵活选择正、余弦定理。 会用余弦定理求角。 |
教学环节 | 教学程序（师生双向活动） | 设计意图 |
课堂小结 知识梳理 | 1、余弦定理及其推论； 2、余弦定理在解三角形的应用； 3、体会余弦定理的推导方法中蕴含的数学思想方法。 | 课堂小结，使学生对所学的知识有个比较全面的认识，对学生知识网络结构的建立有较好的指导作用。 |
作业布置 | 教材P10 3、4 | 使学生通过练习巩固所学知识，形成技能 |
七、板书设计
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课 题 1、余弦定理 2、余弦定理的推论 3、余弦定理在解三角形中的应用 | 推导方法2 推导方法3 | 例1 例2 | 辅助板书 |
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八、教学反思
本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。
